磁場中の電子

真空中をまっすぐ飛んでいる電子に対して、磁場を印加するとその運動はどう変わるだろうか。


電子がx軸正方向に初速度v0で進んでいるとする。この時、磁場Bzをz軸正方向に印加しよう。
電子にはローレンツ力F = -ev0Bzが働く。この時、ローレンツ力Fの方向はy軸正方向であるから、この方向に加速度を受ける。


少し時間が経った時のことを考えると、電子はxy平面の第一象限の方向へ飛んでいく。ところが、ローレンツ力は速度に垂直方向に働くので、この力の方向もまた少し左回転する。
これを鑑みると、電子はローレンツ力を向心力として円運動することが想像できるだろう。


vx, vyで飛行している電子に対するローレンツ力は、次のように表される。

Fy = evxBz, Fx = -evyBz

この時、電子の運動方程式は、

m dvy/dt = evxBz, m dvx/dt = -evyBz

となる。vxを消去すると、vyに関する二次微分方程式が得られ、

m/eBz d^2vy/dt^2 + vy = 0

ここで、m/eBzというものが出てきた。これはなんだろうか。
この項の次元を考えてみると、kg/CT = sとなり、時間の次元を有していることがわかる。
逆数をとると周波数の次元になるので、ここでは、eBz/m = wpとおくことにしよう(サイクロトロン周波数)。


そうすると定常解はvy = Aexp(iwpt)+Bexp(-iwpt)であるが、t = 0でvy = 0とするとA = -Bでなくてはならず、
vy = A(exp(iwpt)-exp(-iwpt))とおいて良い。

この時、vx = 1/wp dvy/dt = iA(exp(iwpt)+exp(-iwpt))となるが、t = 0でvx = v0としていたから、A = v0/2iであるはずである。

これらのことから、

vx = v0/2 (exp(iwpt)+exp(-iwpt)), vy = v0/2i (exp(iwpt)-exp(-iwpt))

である。これらを積分すると、

x = v0/2iwp (exp(iwpt)-exp(-iwpt)) + x0
y = -v0/2wp (exp(iwpt)+exp(-iwpt)) + y0

となる。ところで、

(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = v0^2/wp^2 = r^2

であるから、磁場中で走行する電子は円運動をすることが確かめられた(サイクロトロン運動)。


さて、金属中の自由電子の移動度を1 cm^2 V^-1 s^-1で動いているとしよう。
この時、1 Tの磁場を印加したとすると回転半径rは

r = mv0/eBz = 9.1 * 10^-31 * 1 /1.602 * 10^-19 * 1 cm = 5.7 * 10^-14 m

となる。すなわち、金属中の自由電子は1Tの磁場中で大体pm~fmという極めて短い半径を持って回転していることがわかる。

逆に、真空中を飛行している1 keVの電子の回転半径はcm~mの程度となる。